A

مطبوعـــــــات الابداع في الرياضيــــات
النهايــــــــات ( 1 – 3)



عرف النهاية :
هى ايجاد قيمة الدالة د(س) عندما تؤول س الى ( أ ) حيث ( يمثل ثابت )
تكون النهاية معرفه إذا كانت قيمتها عدد حقيقي . نهـــــــــــــــا د(س) = ؟
س أ
حيث : نــــــها اختصار لكلمة نهاية .
د(س) تمثل الدالة .
س أ تمثل دليل النهاية .
وتقرا : نهاية الدالة د(س) عندما تؤول س الى ( أ ) .
نظرية ( 1 ) :
1/ اذا كانت : د(س) = جـ حيث جـ عدد حقيقى فان :
نهــــــــــا د( س ) = جـ
س أ

2/ اذا كانت : ق(س) = س فان :
نهـــــــــــــــا ق(س) = أ لأي عدد حقيقي
س أ

3/ اذا كانت هـ(س) = م س + جـ فان : نهـــــــــــــــا هـ(س) = م أ + جـ
س أ


نظرية ( 2 ) :
اذا كانت : نهـــــــــــــــا د(س) = ل
س أ
نهـــــــــــــــا هـ(س) = ك
س أ
وكان جـ ، ن عددين حقيقيين فان :

1/ نهــــــــــا [د( س ) هـ(س)] =
س أ

نهــــا د(س) نهـــا هـ(س) = ل ك
س أ س أ


2/ نهــــا جـ د(س)= جـ نهـــا د(س) = جـ ل
س أ س أ
¬

3/ نهــــــــــا ( د( س ) . هـ(س) ) =
س أ


= نهــــا د(س) × نهـــا د(س) = ل × ك
س أ س أ


4/ نهــــا = نهـــاد(س)÷نهـــا هـ(س)
س أ س أ س أ

= ل ÷ ك

5/ نهـــــا د(س) ن = نهــــا د (س) = لن
س أ س أ

استخدم نظرية النهايات لايجاد نهاية كل من الدوال التالية :
أ/ نهــــــــــا 13 = .........................
س أ
س 3
ب/ نهــــــــــا (4س + 3)
س أ
....................................................................................................
ج/ نهــــــــــا (2س2 + 5س)(س3 + 1)
س أ
..........................................................................................................................................................................................................................................................
2/ اذا علمت ان : نهــــا د(س) = 5
س 2
نهـــا هـ(س) = -3
س 2
فجد قيمة كل من:
أ/ نهــــــــــــــا ( 2د(س) – هـ (س) ) =
س 2
.................................................. .................................................. .................................................. .................................................. .................................................. ..................................................ب/ نهــــــــــــــا هـ2(س) =
س 2
....................................................................................................
ج/ نهــــــــــــــا ( د(س) × 3 هـ (س) ) =
س 2
....................................................................................................
....................................................................................................
....................................................................................................
3/ احسب : نهــــــا ( 3س5 – 2س2– 1 )
س -1
....................................................................................................
....................................................................................................
4/ جد النهايات التالية :
أ/ نهــــــــــــــا ( 7س2– 5 )
س 0
....................................................................................................
....................................................................................................
ب/ نهــــــــا ( 2س + 3 ) ( س2– 1 )
س 2
..................................................
.................................................. ..................................................
.................................................. ..................................................
.................................................. ..................................................
ج/ نهــــــــــــا ( 3 – 2 س )5
س 
.................................................. .................................................. .................................................. ..................................................

5/ نهـــــــــــا د( س ) = 7
س 3

فجد النهايات التالية :

أ/ نهـــــــــــا ( 2د(س) – 5 )
س 3
.................................................. .................................................. .................................................. .................................................. .................................................. ..................................................

ب/ نهــــــــــا د2 (س)
س 3
.................................................. .................................................. .................................................. ..................................................
جد : نهـــــــــــا (2س+3)(س2 – 1)
س 2
موضحاً جميع الخطوات
.................................................. .................................................. .................................................. ..................................................
جد : نهــــــــا ( – 1)
س 0
.................................................. .................................................. .................................................. ..................................................

جد : نهـــــــا
س ∞

.................................................. ..................................................
6/ نهـــــــــــــا س + 3
س ∞
.................................................. ..................................................
نهــــــا 7
س 3
.................................................. ..................................................
* إذا كان :
/ اذا علمت ان : نهــــا د(س) = -2
س 2
فجد قيمة :
أ/ نهــــــــــــــا ( 2د(س) – 7 ) =
س 2
.................................................. .................................................. .................................................. ..................................................



اذا علمت ان : نهــــا د(س) = -1 ، نهـــا هـ(س) = 9
س 2 س 2
فجد قيمة كل من:
أ/ نهــــــــــــــا (د(س) ×3 هـ (س) ) =
س 2
................................................ ................................................... ................................................ ...................................................
............................................... ...................................................
نهــــــــــــــا (د3(س) ÷ هـ (س) ) =
س 2
................................................ ................................................... ................................................ ...................................................
................................................ ...................................................
نهــــــــــــــا (هـ(س) +2 د(س) ) =
س 2
................................................ ................................................... ................................................ ...................................................
................................................ ...................................................
جد : نهـــــا (2س3 + 5س + 1)(3 -4س)2
س -1
................................................ ................................................... ................................................ ...................................................
................................................ ................................................... ................................................ ...................................................
سنظل ننحت في الجدار
إما وجدنا منفذاً للضوء
أو متنا على سطح الجدار